第一单元 《观察物体三》
1、根据一个方向观察到的形状摆小正方体，有多种摆法，无法确定立体图形的形状。
2、根据三个方向观察到的形状摆小正方体，只有1 种摆法。
3、从正面、左面、上面3个不同的方向观察同一组物体而画出的图形就是三视图。
5、由三视图拼摆正方体的方法：俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章。
6、先摆出符合正面的立体图形，再摆出符合上面的立体图形，最后确定立体图形。根据从正面、左面、上面观察到的平面图形还原立体图形只有唯一的一种情况。
7、不同角度观察一个物体 ， 看到的面都是两个或三个相邻的面。
8、至少用8个正方体可拼成较大的正方体，27个64个125个……都可拼成较大正方体。
第二单元 因数和倍数
一、因数和倍数。
在整数除法中,如果商是整数而没有余数,我们就说被除数是除数的倍数,除数是被除数的因数.
如整数a能被b整除(a÷b=c),那么a就是b和c的倍数，b和c就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。
因数：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
如：9的最小的因数是1，最大的因数是9。
又如：A的最小的因数是1，最大的因数是A。
一个数的因数的求法：成对地按顺序找,或用除法找。
如：15的因数：1、3、5、15
方法：15÷1＝15，15÷3＝5 （除法）
或 15＝1×15 15＝3×5 （乘法）
完全数：除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完全数。如：6的因数有：1、2、3（6除外），刚好1+2+3=6，所以6是完全数，小的完全数有6、28等
倍数：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
一个数的倍数的求法：依次乘自然数。
例如：6的倍数：6，12，18，24，30……
方法：6×1＝6，6×2＝12，6×3＝18，
6×4＝24，6×5＝30，6×6＝36……
二、自然数按能不能被2整除分为：奇数 偶数
奇数：不是2的倍数的数叫做奇数。
如1、3、5、7、9、11……
偶数：是2的倍数的数叫做偶数。
如：2、4、6、8、10、12……
最小的奇数是1，最小的偶数是0。
2、3、5倍数的特征：
个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
个位上是0或5的数，是5的倍数。
一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。
同时是2、3、5的倍数，个位上是0并且各位上的数的和是3的倍数，这个数就同时是2、3、5的倍数。最大的两位数是90，最小的两位数是30，最小的三位数是120。
同时满足2、3、5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。
6的倍数既是2 的倍数，又是3的倍数。
（个位上是0，2，4，6，8且各位上的数的和是3的倍数）
同时是3、5的倍数的特征：个位上是0或5，且各位上的数的和是3的倍数。
三、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0.
质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。
如2,3,5,7，11，13,17,19……都是质数。
合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。如4,6,8,9，10,12,14，15,16,18,20,22,26，49……都是合数。合数至少有三个因数，1、它本身、别的因数
1： 只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。
最小的质数是2，最小的合数是4。
20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）
（1）所有的奇数都是质数。不对，因为9是奇数，但不是质数，而是合数。
（2）所有的偶数都是合数。不对，因为2是偶数，但不是合数，是质数。
（3）在1,2,3,4,5,…中，除了质数以外都是合数。不对，因为1既不是质数也不是合数。（4）两个质数的和是偶数。不对，因为2是质数也是偶数，而其他的质数都是奇数，偶数＋奇数＝奇数。
四、100以内的质数（共 25 个）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
五，奇数＋奇数＝偶数（如：5+7=12 3+5=8）
奇数＋偶数＝奇数（如：1+4=5 7+2=9）
偶数＋偶数＝偶数（如：2+4=6 8+6=14）
奇数×奇数＝奇数（如：5×7＝35 7×9＝63）
奇数×偶数＝偶数（如：5×8＝40 7×8＝56）
偶数×偶数＝偶数（如：8×12＝96 14×24＝336）
质数×质数=合数
分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。
用短除法分解质因数 （一个合数写成几个质数相乘的形式）。
比如：30分解质因数是：（30=2×3×5）
六、公因数、最大公因数
几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个因数就叫它们的最大公因数。用短除法分解质因数 （一个合数写成几个质数相乘的形式）例：12=2×2×3
用短除法求两个数或三个数的最大公因数 （除到互质为止，把所有的除数连乘起来）.
几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。两数互质的特殊情况：
⑴1和任何自然数互质；
⑵相邻两个自然数互质；
⑶两个质数一定互质；
⑷2和所有奇数互质；
⑸质数与比它小的合数互质；
如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数。
如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。
两个数的公因数是它们最大公因数的因数。
七、公倍数、最小公倍数:几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。
用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来）
用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来）
如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。
如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。
两个数的公倍数是它们最小公因倍数的倍数。
互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。
两个质数的互质数：5和7
两个合数的互质数：8和9
一质一合的互质数：7和8
求最大公因数和最小公倍数方法
用12和16来举例
1、 求法一：（列举求同法）
最大公因数的求法：
12的因数有：1、12、2、6、3、4
16的因数有：1、16、2、8、4
最大公因数是4
最小公倍数的求法：
12的倍数有：12、24、36、48、…
16的倍数有：16、32、48、…
最小公倍数是48
2、求法二：（分解质因数法）
12=2×2×3
16=2×2×2×2
最大公因数是：2×2=4 （相同乘）
最小公倍数是：2×2×3×2×2= 48 （相同乘× 不同乘）
3、求法三：短除法
用短除法求下列各组数的最大公因数。①12和18 ②34和102 ③ 12、24和36
想：用短除法求两个数的最大公因数，一般用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止，再把所有的除数连乘起来，所得积就是这两个数的最大公因数。最小公倍数就是所有公因数连乘再乘最后的商。
34和102的最大公因数是 2×17＝34，
最小公倍数是 2×17×1×3＝102
最大公因数和最小公倍数的知识应用：
1：一张长方形纸长24厘米，宽16厘米，如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形的边长最大是多少厘米？可以剪几个正方形？
解题思路：正方形的边长一定是长和宽的公因数，且是最大公因数。
答：剪出的正方形的边长最大是8厘米。可以剪6个正方。
最大公因数的应用的关键词：“最大”、“最长”、“最多”等。
知识应用2：甲、乙两人去图书馆看书，甲每6天去一次，乙每8天去一次。如果4月1日他们两个在图书馆相遇，那么下一次在图书馆相遇是几月几日？
解题思路：他们两个下次在图书馆相遇所经过的天数一定是6和8的公倍数，且是最小公倍数。
答：他们下一次在图书馆相遇是4月25日。
知识应用3：一群学生去春游，去时12个人坐一辆车刚好，回来时8个人坐一辆车刚好。这群学生最少有多少人？
解题思路：12刚好8也刚好，那么总人数一定是8和12的公倍数，最少多少人就是求最小公倍数。
12＝2×2×3 8＝2×2×2 最小公倍数 2×2×3×2＝24
答：这群学生最少有24人。
最小公倍数的应用的关键词：“最少”、“最小”、“至少”等。
第三单元 长方体和正方体
1、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。长方体和正方体都是立体图形。正方体也叫立方体。
2、相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。（长、宽、高都各有4条，分别平行并且相等）
3、长方体的特征：
① 面：有6个面，都是长方形（特殊情况下最多有两个相对的面是正方形）。相对的面完全相同。
② 棱：有12条棱。相对的棱长度相等。
③ 顶点：有8个顶点。
4、正方体的特征：
① 面：有6个面都是正方形，6个面完全相同。
② 棱：有12条棱。12条棱的长度相等。
③ 顶点：有8个顶点。
相同点 | 不同点 | ||
面 | 棱 | ||
长方体 | 6个面， 12条棱， 8个顶点。 | 6个面都是长方形。（有可能有两个相对的面是正方形）。 | 相对的棱的长度都相等 |
正方体 | 6个面都是正方形。 | 12条棱都相等。 |
5、正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。
至少要8个小正方体才能拼成一个稍大的正方体。
经过折叠可以组合成长方体：
长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4＝长×4+宽×4+高×4
L=（a＋b＋h）×4 （长+宽+高）=棱长总和÷4
长=棱长总和÷4－宽 －高 a=L÷4－b－h
宽=棱长总和÷4－长 －高 b=L÷4－a－h
高=棱长总和÷4－长 －宽 h=L÷4－a－b
经过折叠可以组合成正方体:
正方体的棱长总和=棱长×12 L=a×12
正方体的棱长=棱长总和÷12 a=L÷12
6、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。
长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
S=2（ab＋ah＋bh）
无底（或无盖）长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2
S=2（ab＋ah＋bh）－ab 或 S=ab+2ah+2bh
S=2（ah＋bh）＋ab
无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2 S=2（ah＋bh）
正方体的表面积=棱长×棱长×6
生活实际：占地面积是指底面积 S=a×b
油箱、罐头盒等都是6个面 S=2（ab＋ah＋bh）
游泳池、鱼缸、教室涂刷等都只有5个面。（S=ab+2ah+2bh）
水管、烟囱等都只有4个面。S=a×a×4 ＝4a²
注意1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。（表面积相应增加）
注意2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。（如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的4倍）
7、物体所占空间的大小叫做物体的体积。
长方体的体积=长×宽×高 V=abh
长=体积÷宽÷高 a=V÷b÷h
宽=体积÷长÷高 b=V÷a÷h
高=体积÷长÷宽 h= V÷a÷b 或 h= V÷S
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
V=a×a×a = a³ 读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a·a·a）
长方体或正方体底面的面积叫做底面积。
长方体（或正方体）的体积=底面积×高 用字母表示：V=S h
（横截面积相当于底面积，长相当于高）。
注意：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。
长方体或正方体底面的面积叫做底面积。
长方体（或正方体）的体积=底面积×高 用字母表示：V=S h
（横截面积相当于底面积，长相当于高）。
注意：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。
8、箱子、油桶、仓库等容器所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。
长方体和正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同，但要从里面量长、宽、高。（所以物体的体积大于它的容积）。
常用的容积单位有升和毫升也可以写成L和ml。
1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米
1升=1000毫升
（1 L = 1 dm³ 1 ml = 1 cm³）
9、注意：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。（如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的8倍）。
